探馬說古暫十 數學路 答客問十 暫八補充 怪異的數學

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探馬說古暫十 數學路，路迢迢，少年子弟數學老之答客問十 暫八補充 怪異的數學



說明標題：怪異的數學．指暫八引用的王南傑的話：『（南傑）答: 只要以幾個步驟就解決了, 然後你 會很驚訝。 』內行人知道這是甚麼意思，看官可能不懂，這裡為看官說明。舉例說明：


   一、淘汰賽：淘汰賽相當常見，比方十六強決賽，淘汰賽要打幾場！因，第一輪要打八場，再來八強賽打四場，準決賽打四場，最後再打冠亞軍決賽，所以全部8＋4＋2＋1＝15，這個證明基本，但完美嗎？
        有某甲問John von Neumann  2048  人打淘汰賽，比賽幾場可決定冠軍？ von Neumann 馬上回答，2047場，某甲失望了，問von Neumann 是否知道速算法？von Neumann 回答，甚麼速算法？他是一項項加起來，只是心算速度太快，甲以為用速算法而已。那有甚麼算法呢？假設2048  人打淘汰賽，有人輸了，按網路術語，輸了就領便當出局，要求得冠軍，必須冠軍以外所有人都領便當出局，最後只有一人不領便當而領冠軍盃結束，所以答案為2047場、這證明夠直截了當吧！
         二、[size=1.8em]柯尼斯堡七橋問題柯尼斯堡七橋問題 - 維基百科，自由的百科全書 (wikipedia.org)。柯尼斯堡是歷史名城，德國的龍興之地，大哲學家Immanuel Kant 和大數學家David Hilbert的故鄉、德國名城多了，可是怎麼沒聽過？這有兩個原因，二次大戰改變地圖，柯尼斯堡已經變成俄國的，而且改名[size=1.8em]加里寧格勒。
         回到七橋問題，這是圖論中的著名問題。這個問題是基於一個現實生活中的事例：當時東普魯士柯尼斯堡（今日俄羅斯加里寧格勒）市區跨普列戈利亞河兩岸，河中心有兩個小島。小島與河的兩岸有七條橋連接。在所有橋都只能走一遍的前提下，如何才能把這個地方所有的橋都走遍？
歐拉把實際的抽象問題簡化為平面上的點與線組合，每一座橋視為一條線，橋所連接的地區視為點。這樣若從某點出發後最後再回到這點，則這一點的線數必須是偶數，這樣的點稱為偶頂點。相對的，連有奇數條線的點稱為奇頂點。歐拉論述了，由於柯尼斯堡七橋問題中存在4個奇頂點，它無法實現符合題意的遍歷所有橋。
在n>0的情況下，有2n個奇頂點的圖至少需要n筆畫出。如果只有兩個奇頂點，則可從其中任何一地出發完成一筆畫。若所有點均為偶頂點，則從任何一點出發，所求的路線都能實現，他還說明了怎樣快速找到所要求的路線。
       甚麼是偶頂點呢？一座島如果有偶數橋就是，這樣的島，比方二座橋，那麼有來有往，來了一定可以離開，四座橋也可以離開。所以有奇數橋的島只能有兩個，七橋問題中，有四個島有奇數橋，歐拉就證明了柯尼斯堡七橋，無法一次不重複走完。
      歐拉的證明只用到想一筆畫，就要有偶數橋，所有島是偶數橋一定可一次走完，有奇數橋也可以，但最多兩個，不然失敗，建議讀者試試看。話說回來，我高中時，在科學月刊看到一筆畫原理，根本害怕不敢去了解，有天和六班同學黃明輝談起，他簡單講給我聽，就這麼簡單呀？我害怕甚麼？後來我到中研院任職，搬到內湖，明輝帶他的兒子來，看他兒子的數學程度，將門虎子，基礎好的很，原來到大直高中訓練過，當時我真想收為弟子，可惜明輝不久就移民美國，我的收徒夢碎。其後，我才知道他和我都是朴子內厝黃家的人，不過他大我一輩，祖先分散兩三百年，後世有緣相聚！