探馬說古暫八 數學路 客問八 深入談H

探馬

探馬說古暫八 數學路，路迢迢，少年子弟數學老之答客問八 深入談H

  看H的經歷，知名省中畢業，台大工學院某系畢業，台大數學碩士，美國名校數學博士，一帆風順，可是他堅持念台大數學研究所，洪成完老師那樣的人也感動，同意H報考研究所，他碩士班用功苦讀人人皆知，就我所知，台大數學系也就王藹農老師有這麼用功，所以H到中研院真是人人歡迎，全票通過。到中研後，H卻寫不出論文，怎麼了？      
《詩經．大雅．蕩》：「靡不有初，鮮克有終。」
   這要從H高中說起。我推測H是抱著參考書當武林無上真經，這是甚麼意思？吳祥輝說他班上數學高手是貝多芬的，數學也可以貝多芬（背多分）？我和JH 兄剛認識的時候，他不信，數學不是要思考嗎 ？如何背多分？JH 兄是文科的，沒我看多江湖鬼門道的經驗，我以前為了解教育，有次教個國中小女生，聽說是數學高手，可是我越教越不對勁，基礎很差，國小沒學好！那她如何數學拿高分？很簡單，平常用功讀參考書，理解以後背下來，貝多芬就上身了！台灣的參考書真的甚麼花招都有，教科書的題目也幫您做，好好的看，看多了‘您也金光萬道，瑞氣千條，成為轟動武林的數學大高手。可惜光會解題花招，馬步不穩，碰到高手，一腿過來就跌個狗吃屎。我指出小女生這點，卻挨家長的罵「自居博士瞧不起他們家女孩」，我知道女生數學基礎太差，目前是高手，馬上要崩潰了，『我佛慈悲，不度無緣之人』，既不肯聽，隨她去吧！
    再舉一例，我在高一時候和班上同學LH兄很熟，LH兄是班上數學高手之一，有次兩人檢討月考題目，其中一題是求值域，定義函數有根號，我第一次碰到，不知道怎辦？記得張兆嘉老師說，微積分以【連續和極限】為根本，就用連續，看出值域，LH兄說不對！答案應該這樣，然後證給我看，層次嚴謹，我佩服得不得了，不過告訴他其中有錯，LH兄說哪裡有錯？我說您為對付根號，用了平方，老師強調過，平方可能有增根，要驗證，問題在此。我問LH兄怎麼知道這方法，LH兄翻書給我看，原來是參考書，參考書有錯，LH兄跟著錯，我們查別的別的參考書，證明一様，錯誤也一樣！一隻青蛙撲通一聲跳下水，九隻青蛙撲通一聲跳下水，真莫奈伊。可是我們不約而同說『陸思明呢』？書找來一看，陸思明也有此題，答案與眾不同，是對的！我們都久仰陸老師大名，名不虛傳，真正學者風範！
  H兄大學上工學院，再上台大學數學所碩士班，拼命看書，人人佩服。當時，他修陳金次老分析通論，ˋ班上有人批評來上課的人，其中我和H兄二人甚麼都會做，不過我是自己想，H兄看書的，
H兄拿博士後，到中研院是全票通過，沒有人反對，然後，一樣用功，都在看書，新到的期刊看多了，我勸他看那麼多，該做研究了。他駁我自己思考難道會比別人想法高明？難道天下好漢不如你單打獨鬥？等他看盡天下論文，【一口吞盡西江水】，融會貫通，就寫出論文了！結果期刊出新論文速度大於他看論文的速度，他就一直看下去！ 他根本念念不忘參考書，到中研院後，把期刊當參考書看，所以『他駁我自己思考難道會比別人想法高明？難道天下好漢不如你單打獨鬥？』我能說甚麼？
       而且他讀書方法也有問題，一直讀書，是難消化的，這不是探馬胡說，是丘成桐先生的話：『高年級同學比較知道, 你在看課外書或 參考書時,可以在前面的第一章時,覺得很容 易, 第二章也很容易, 到第三章可能模糊,到 第四章時好像很 formal, 並不懂什麼意思。 為什麼會產生這現象呢? 這很簡單, 因為第 一章比較淺一點,你是真的看懂了,第二章其 實你不懂, 你就跳過去了。 這個證明沒看懂, 以為啊, 大概這樣子就對了。越看越多時, 前面知識不懂的東西 越累積向後面,錯誤就越來越多,到了最 後時, 根本就完全沒辦法控制。』  
18305.pdf (sinica.edu.tw)

      丘先生教學生方法是找一篇論文要要學生看，我也上過，給我的論文內容我根本沒學過，我立下軍令狀『一年看完』，也整整花一年看，每次看完，就中文講給丘先生聽，丘先生學生太多，精力不濟，我在台上講，他一直台下瞌睡，不要管，我講我的，內容也寫在黑板上，丘先生會突然驚醒，看我在黑板寫的，指點幾句，又打瞌睡了！我好佩服！《史記·孔子世家》『高山仰止，景行行止。’雖不能至，然心嚮往之。』吾於丘先生亦云！
        回到H，他看過的書都會用彩色水性筆畫眉批，這樣做就真的懂嗎？和孫悟空在五行山下寫的「齊天大聖到此一遊」有何差別？畫眉批除提醒自己看過外，有何意義？丘先生的話『這個證明沒看懂, 以為啊, 大概這樣子就對了。越看越多時, 前面知識不懂的東西 越累積向後面,錯誤就越來越多,到了最後時, 根本就完全沒辦法控制。』值得深思！  
       再引用丘生的話『問問題是重要的訓練 我們的科學 (不一定是數學), 並不是很 perfect 的科學, 在每一個層以上我們都可以 問一些很重要的問題。 基本上數學裡所有的 很簡單的學問, 你也可以問出很重要的問題, 這些問題你並不一定能夠解決, 你可以跟老 師討論或是跟同學討論。 不過你在問問題時, 你可以將自己整 個思想, 思考搞得很清楚, 是一個很重要的 training, 我很鼓勵你們儘量去問一些問題。』
       清大座談是我當《數學傳播》主編找當時清大研究生王南傑找人整理的，想不到王南傑問題那麼多，都要打烊了，王南傑還舉手增加問最後二個，丘先生開飯館的不怕大肚漢，照答不誤，丘先生的教育熱情和對晚輩的好沒話說！『二十、（王南傑） 問: 我們在做作業解問題的時候, 常常想了很久都不知道該怎麼辦, 可是翻開解答一看,他的想法實在非常怪異,不曉得我 們要如何去了解這種怪異的想法? 它在我們 學習數學的過程中扮演什麼樣的角色? 對我 們整個思想又有什麼影響?（丘） 答: 我不懂你什麼叫怪異? (笑)。 一個 數學題目的解決,普通有很多個不同的,尤其 你們還沒到 research, 普通總有好幾種不同 的解法。 你講的怪異是花了很多工夫來解決, 或是很natural 的解法? （南傑）答: 只要以幾個步驟就解決了, 然後你 會很驚訝。 （丘）驚訝就難忘掉, 對不對? 多學這些想 法, 是解決問題的小工具 。其實這對你有個好處, 你能夠懂得 驚訝就對你很好,你要看懂了解決的方法,你 就對解決的方法很難忘掉, 對不對? 假如你 不驚訝你就背下來,一下子就忘掉了,這就根本對你沒有好處。 每一個解決題目的方法, 假如跟 standard 書裡面講的不同的話, 這是一個工具, 可以講是解決一個題目的方法的工具, 小工 具加起來以後, 就是等於一個工程師他口袋 裡有很多不同的小工具。 等你做其它問題的 時候, 這個工具可以重新再去用,所以為什麼 學生應當去解題目就是這個緣故。 就是一方面你曉得一個數學的大方向, 一方面你口袋 裡面要有很多工具。 如此如此, 這般這般, 工具缺乏, 到時就蓋不出房子 。有很多人講很多 philosophy, 很多理 論, 「我認為數學怎麼樣子, 怎麼樣子,」 結果 真正到了一個情形要解一個問題, 解不出來, 這什麼原因? 因為他從來不做題目, 口袋裡 面沒有一定的工具。一個大房子蓋的時候,你 可以曉得基本上的工程是怎麼蓋的, 可是你 不能夠就這樣子講就算了, 到了你真正要去 蓋的時候,就發覺這邊要上螺絲,那邊要上鐵條,你不懂得上，你就蓋不起來,就是這個意思, 所以做題目很要緊就是這個樣子。基本上, 如果你沒有想之前就看那個解 答, 看了以後, 這很 trivial 嘛! 這基本就是 這邊乘一乘, 那邊除一除就行了。可是, 你先 想那個題目, 再去看解答, 你才了解, 這個解 答並不是那麼trivial的, 你搞一搞就搞不懂, 為什麼他就搞懂? 所以你一定要先想題目再 看解答, 一定要學這種工具,這種很奇異的要 將它學下來,學下來以後,第二次再出現同樣 的題目, 你就可以用。』當我看到王南傑最後第二十個問題，暗嘆自己找對人了，問這麼好的問題！
        丘：『一個大房子蓋的時候,你 可以曉得基本上的工程是怎麼蓋的, 可是你 不能夠就這樣子講就算了, 到了你真正要去 蓋的時候,就發覺這邊要上螺絲,那邊要上鐵 條,你不懂得上你就蓋不起來,就是這個意思, 所以做題目很要緊就是這個樣子。基本上, 如果你沒有想之前就看那個解 答, 看了以後, 這很 trivial 嘛! 這基本就是 這邊乘一乘, 那邊除一除就行了。可是, 你先 想那個題目, 再去看解答, 你才了解, 這個解 答並不是那麼trivial的, 你搞一搞就搞不懂, 為什麼他就搞懂?』
      我和H合作過，我在上面講，請H一定要抄，結果H覺得這很 trivial 嘛!，不抄，要寫論文了，時間久遠，論文證明細節我忘記，H以為我故意隱瞞，我氣得說，細節H覺得這很 trivial 嘛!不抄，現在你 trivial 給我看！丘先生的話說出眼高手低的人心態！我後來和鄭日新兄合作，每次我在台上胡吹，鄭兄都抄下來，亂蓋的話鄭兄也抄，有次我想到一個定理應該成立，鄭兄說那是對的，證給我看，我驚訝鄭兄怎麼證這麼好，鄭兄回答『你證的』然後回辦公室拿以前抄的，我一看真的是我證的！我感謝鄭兄，當時如果不抄，這個證明我沒把握重想！鄭兄大我二屆，是數學界大老，卻願意聽我胡蓋並抄下來，是不可多得的合作者。  
       H根本就是覺得他自己是超天才，甚麼論文都看一遍就透徹了解，但真的有這樣的天才嗎？其實還是有的，而且『頂港有名聲，下港上出名』，《天龍八部》的天才美少女王語嫣是也，「熟讀天下各門各派武功秘笈，能看破幾乎所有的武功招式，是一位高深的武學理論家。」
     只是武俠小說能當現實世界嗎？丘先生教多了學生，知道學生會患的毛病，H兄看人挑擔不吃力，輪到自己寫論文，就徒呼奈何了！
      這篇文章完稿後， 李志豪兄寄來一篇李家同文章，剛好是這篇文章的說明科技．人文聯合講座／網路、書本、專家、思考 | 民意論壇 | 評論 | 聯合新聞網 (udn.com)
【最重要的是，我們絕對要養成思考的習慣。根據我個人的經驗，即使我找到了最好的專家，其實仍然會有困惑。要去掉這些困惑，唯一的辦法就是靜下來好好地思考。

大學的教育應該鼓勵學生不要很快地回答老師的問題，而要鼓勵他們經過思考以後得到答案。可惜社會一般人總覺得一個人能夠快速地回答問題是聰明的，這是一個錯誤的觀念。】

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