閱讀數學／格子點上的面積（上）

eric955168

2022-04-23 00:10  聯合新聞網／賴以威（數感實驗室）

示意圖／ingimage

說到皮克，或許你第一個想到的是《進擊的巨人》裡的皮克小姐，不過今天要來介紹的是奧地利數學家喬治．亞歷山大．皮克（Georg Alexander Pick）。而他所提出的其中一個重要定理「皮克定理」便是今天的主角啦！三角形的面積的求法百百種，無論是大家熟知的「底Ｘ高÷2」，或是高中會學到的向量與行列式，面積一直以來都是用「算的」。但是你有沒有想過，面積其實可以用「數的」數出來呢？

只要頂點在格子點上，三角形面積可以直接套用皮克定理數出來。先數數三角形內部有幾個格子點，記為i；再數三角形的邊上有幾個格子點，記為b。那麼三角形的面積A就會是：

A = i + b／2 – 1

不相信有這麼簡潔的公式的話，隨手畫幾個三角形都能驗證。而皮克定理其實不限於三角形，只要頂點在格子點上，這條公式可以套用到任何多邊形的面積。不論是凸多邊形、凹多邊形，甚至中間鏤空的圖形，全部都在皮克定理的掌握之中。

想知道皮克是怎麼突發奇想發現這個性質，或許我們能先降個維度，從數線上的種樹問題著手。如果要求3～7之間的長度，除了直接7減3以外，我們可以換個角度想：每個中間的整數點，都代表著前後0.5的1單位長度（5代表4.5～5.5），而每個邊界點則代表向內的0.5單位長度（7代表6.5～7）。不覺得似曾相識嗎？沒錯，前者就是皮克定理中的i，而後者是b，長度則是i + b／2。

可是，明明皮克定理還有個「-1」，這又是怎麼來的呢？

（未完待續）