閱讀數學／格子點上的面積（下）

eric955168

2022-04-30 00:10  聯合新聞網／賴以威（數感實驗室）

示意圖／ingimage

上周我們介紹了可以用數的求出面積的「皮克定理」：只要頂點在格子點上，簡單多邊形的面積可以直接套用皮克定理數出來。先數數形狀內部有幾個格子點，記為i；再數多邊形的邊上有幾個格子點，記為b。那麼三角形的面積A就會是：

A = i + b/2 – 1

我們降了一個維度，從種樹問題的來討論長度，讓大家對於皮克定里能有一個直觀的理解。每顆中間的樹，都代表著前後0.5的1單位長度，而兩顆邊界樹則代表向內的0.5單位長度。至於，明明皮克定理的「-1」，不妨從「點周圍的角度」的視角來看。以2Ｘ2的正方形來說，有1個內點和8個邊界點，其中邊界點又可區分為邊上的點和頂點。首先是內點，點周圍的360°都在正方形內，所以代表1單位。再來是邊上的點，點周圍的180°在正方形內，所以代表1/2單位。最後是頂點，點周圍的90°在正方形內，所以代表1/4單位。最後合計便會是4單位。

推廣到多邊形內角，我們知道多邊形內角和是：

（n-2） Ｘ 180° =180°Ｘn - 360°

從剛剛360°代表一個單位，180°是半個單位。所以頂點所代表的單位是：

1/2Ｘn-1

後面那個-1，就是推廣到平面後公式為

A = i + b/2 – 1

「-1」存在的原因啦。注意噢，此說法僅適用於外角和=360°的凸多邊形。而這畢竟這只是比較直觀的理解方式，嚴謹的證明則需要拿出「數學歸納法」，有興趣的人歡迎挑戰看看。下次和朋友聊到《進擊的巨人》裡的皮克小姐時，不妨和他們分享另一位數學家皮克所發現的「皮克定理」吧！